Co je aplikovaná matematika a operační výzkum?

Aplikovanou matematikou rozumíme používání matematických metod v dalších oblastech, mimo matematiku samotnou. Malá československá encyklopedie (Ref. 1) jako příklady těchto oblastí uvádí fyziku, mechaniku, elektrotechniku, biologii, zeměměřičství, ekonomii, jazykovědu. Zde máme na zřeteli spíše uplatnění matematiky v průmyslu, dopravě, zemědělství nebo dalších činnostech každodenní potřeby.

Jednou z širokých oblastí aplikované matematiky je operační výzkum. Řečeno stručně (Ref. 2), operační výzkum je disciplína používání pokročilých analytických metod pomáhající při činění lepších rozhodnutí. Citovaná definice říká, že operační výzkum je disciplína. To znamená, že operačním výzkumem není pouhé použití účetního nebo databázového softwaru (sledujícího například skladové zásoby), nýbrž jde o odbornou oblast aplikací (používání). To znamená, že operační výzkum není pouhá teorie, ale snaží se nalézat řešení reálných problémů každodenního života. Za tímto účelem používá pokročilé analytické metody. To znamená, že řešený problém je popsán jazykem matematiky. Ten již lze snadno přeložit do jazyka, kterému rozumí počítače hledající řešení daného konkrétního problému. V závěru citovaná definice říká, že účelem operačního výzkumu je pomoci, a to činit lepší rozhodnutí.

S trochou nadsázky lze říci, že celý život spočívá v činění rozhodnutí: jaký dopravní prostředek a jakou trasu zvolíme, chceme-li se dostat z místa A do místa B; jak sestavíme školní rozvrh hodin bez kolizí; jak stanovíme optimální dráhu vrtačky pro vrtání otvorů při sériové výrobě desek s tištěnými spoji (např. do mobilních telefonů, počítačů atd.); jak má firma sestavit svůj výrobní program, aby maximalizovala svůj zisk?

Úlohy, se kterými se v praktickém životě setkáváme, jsou někdy značně obtížné. Proto si operační výzkum neklade za cíl nalézt nejlepší rozhodnutí (které kvůli omezenosti našich prostředků ani nemusíme být schopni najít), nýbrž pouze lepší rozhodnutí. To znamená, že operační výzkum je zaměřen prakticky a snaží se poskytnout rozumná řešení.

Z výše uvedeného vyplývá, že posláním operačního výzkumu je řešit i velké praktické úlohy a že operační výzkum spočívá v aplikaci pokročilých analytických metod.

Je tudíž přirozené, že operační výzkum vyžaduje hluboké znalosti matematických, ale i informatických a ekonomických oblastí (optimalizace, statistika, teorie pravděpodobnosti, teorie grafů, síťová analýza, teorie her, simulace a další).

Ilustrujme podaný, spíše abstraktní výklad pomocí příkladu.

Příklad

Uvažujme firmu, která vyrábí a na trh dodává travní směsi, např. (Ref. 3). Balení (např. 1 kg) těchto směsí (např. směs parková, rekreační, pro obnovu, do polostínu, na sušší stanoviště, hřištní nebo luční) můžeme zakoupit v obchodech v oddělení zahrady. Celkový počet produktů, tj. travních směsí (parková, rekreační, …), označme n.

Travní směs vzniká smícháním semen několika druhů travin v určitém poměru, který je pro každou jednotlivou směs specifický, a tím určuje její vlastnosti. Počet vstupních surovin, tj. počet druhů semen travin (např. kostřava červená dlouze výběžkatá, kostřava červená krátce výběžkatá, kostřava červená trsnatá, kostřava ovčí, kostřava rákosovitá, kostřava luční, lipnice luční, lipnice hajní, psineček tenký, jílek vytrvalý, jílek mnohokvětý, poháňka hřebenitá, jetel luční, jetel plazivý, jetel zvrhlý, bojínek luční) označme m.

Jak řečeno, travní směs se získává smíšením semen různých druhů travin v určitém poměru. Nechť aij označuje hmotností zastoupení suroviny číslo i = 1, 2, …, m (kostřava, …) v jedné jednotce, tj. v 1 kg, výrobku číslo j = 1, 2, …, n (směs parková, …).

Dostupnost vstupních surovin je dána úrodou, tj. množstvím, které se v daném roce vypěstovalo. Nechť bi označuje hmotnostní množství suroviny číslo i = 1, 2, …, m (kostřava, …), které má firma ve svých skladech k dispozici.

Konečně, firma své výrobky prodává. Jednu jednotku (1 kg) výrobku číslo j = 1, 2, …, n (směs parková, …) prodává v obchodech za cj peněz. Cena cj je stanovena tak, aby pokrývala výrobní náklady a současně zahrnovala určitý podíl (např. jednu desetinu) zisku. Předpokládáme současně, že tržní poptávka po travních směsích je větší nebo rovna jejich nabídce. To znamená, že veškeré travní směsi, které firma na trh dodá, budou prodány. Označme xj množství (v kg) travní směsi číslo j = 1, 2, …, n, které firma vyrobí, dodá na trh, a tudíž bude prodáno. Potom celková tržba firmy z prodeje travních směsí je c1x1 + c2x2 + … + cnxn, přičemž určitý podíl (např. jedna desetina) této tržby je čistým ziskem firmy.

Firma nyní stojí před úkolem stanovit svůj výrobní program travních směsí, tj., určit, jaké množství xj travní směsi číslo j = 1, 2, …, n vyrobí. Firma se ptá, jaká množství travních směsí má vyrobit, aby maximalizovala svůj čistý zisk.

Řešení

Vidíme, že firma stojí před rozhodnutím: je potřeba stanovit (v tuto chvíli neznámá) množství x1, x2, …, xn travních směsí číslo 1, 2, …, n, a to tak, aby maximalizovala svůj zisk. Je posláním operačního výzkumu, aby aplikoval vhodné metody, a pomohl tak firmě učinit co možná nejlepší rozhodnutí.

V tomto případě použijeme obor optimalizace, jmenovitě oblast lineárního programování. Cíl firmy je jasný: maximalizovat svůj zisk. Proto uvažujeme cílovou funkci f(x1, x2, …, xn) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn, a tu budeme maximalizovat. Ovšem rozhodnutí (které je zde vyjádřeno hodnotami proměnných x1, x2, …, xn) musí být realizovatelné (přípustné). Podléhá proto omezujícím podmínkám. Prvním samozřejmým omezením je, že firma může svůj výrobní program stanovit jen takovým způsobem, aby nepřečerpala dostupné skladové zásoby surovin. Množství i-té suroviny, které je potřebné k výrobě množství x1, x2, …, xn jednotlivých travních směsí, je gi(x1, x2, …, xn) = ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn pro i = 1, 2, …, m. Máme tedy omezující podmínky gi(x1, x2, …, xn) ≤ bi pro i = 1, 2, …, m. Druhým samozřejmým omezením je, že vyrobená množství x1, x2, …, xn musí být nezáporná. Tedy xj ≥ 0 pro j = 1, 2, …, n. Dohromady dostáváme následující úlohu lineární optimalizace: maximalizovat f(x1, x2, …, xn) za podmínek gi(x1, x2, …, xn) ≤ bi a xj ≥ 0 pro i = 1, 2, …, m a j = 1, 2, …, n.

Jsou-li zadány konkrétní ceny cj, množství bi a poměry aij, potom zformulovanou úlohu můžeme vyřešit například pomocí známé simplexové metody (Ref. 4, 5, 6, 7, 8): úlohu stačí zadat počítači, na kterém je nainstalován vhodný optimalizační software, například GLPK, Gurobi Optimizer, GAMS, FICO Xpress Optimization Suite nebo jiný.

Reference

  1. Malá československá encyklopedie. I. svazek: A–Č. Praha: Academia, 1984. Heslo „Aplikovaná matematika“, str. 203.

  2. Promoting Operations Research: Defining O.R. clearly [on-line].

  3. Oseva Uni Choceň: Drobné balení: Travní směsi [on-line]. Poznámka. S citovanou firmou nejsme v žádném spojení. Citované stránky jsme využili pro jejich informační hodnotu, aby uvedený příklad byl realističtější.

  4. DANTZIG, G. B., THAPA, M. N. Linear Programming: 1: Introduction. New York: Springer, 1997. ISBN 0-387-94833-3.

  5. DANTZIG, G. B., THAPA, M. N. Linear Programming: 2: Theory and Extensions. New York: Springer, 2003. ISBN 0-387-98613-8.

  6. DANTZIG, G. B., THAPA, M. N. Linear Programming: 3: Implementation. New York: Springer. ISBN 0-387-98609-X. (ISBN 987-0-387-98609-8.)

  7. FRANKLIN, J. N. Methods of Mathematical Economics: Linear and Nonlinear Programming, Fixed-Point Theorems. Philadelphia: SIAM, 2002. ISBN 0-89871-509-1.

  8. PADBERG, M. Linear Optimization and Extensions. 2nd ed. Berlin: Springer, 1999. ISBN 3-540-65833-5.


[Zpátky na téma Optimalizace a operační výzkum.]


Zveřejněno / aktualizováno: 18. 11. 2022